電勢

　　在這篇文章內(nèi)，向量與標(biāo)量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用{\displaystyle\mathbf{r}\,\!}\mathbf{r}\,\!表示；而其大小則用{\displaystyle r\,\!}r\,\!來表示。

　　在靜電學(xué)里，電勢（electric potential）又稱電位[1]，是描述電場中某一點(diǎn)之能量高低性質(zhì)的物理標(biāo)量，操作型定義為“電場中某處的電勢”等于“處于電場中該位置的單位電荷所具有的電勢能”[2]，單位用伏特。

　　電勢的數(shù)值不具有絕對意義，只具有相對意義，因此為了便于分析問題，必須設(shè)定一個參考位置，并把它設(shè)為零，稱為零勢能點(diǎn)。通常，會把無窮遠(yuǎn)處的電勢設(shè)定為零。那么，電勢可以定義如下：假設(shè)檢驗(yàn)電荷從無窮遠(yuǎn)位置，經(jīng)過任意路徑，克服電場力，以緩慢、沒有產(chǎn)生加速度的方式移動到某位置，則在這位置的電勢，等于因移動檢驗(yàn)電荷所做的功與檢驗(yàn)電荷的電荷量的比值。在國際單位制里，電勢的單位為伏特（{\displaystyle\scriptstyle{{\text{V}}={\text{J}}/{\text{C}}}}{\displaystyle\scriptstyle{{\text{V}}={\text{J}}/{\text{C}}}}）（Volt），它是為了紀(jì)念意大利物理學(xué)家亞歷山德羅·伏打（Alessandro Volta）而命名。

　　電勢必需滿足泊松方程，同時符合相關(guān)邊界條件；假設(shè)在某區(qū)域內(nèi)的電荷密度為零，則泊松方程約化為拉普拉斯方程，電勢必需滿足拉普拉斯方程。

　　在電動力學(xué)里，當(dāng)含時電磁場存在的時候，電勢可以延伸為“廣義電勢”。特別注意，廣義電勢不能被視為電勢能每單位電荷。

簡介

　　處于外電場的帶電粒子會受到外電場施加的作用力，稱為電場力，促使帶電粒子加速運(yùn)動。對于帶正電粒子，電場力與電場同方向；對于帶負(fù)電粒子，電場力與電場反方向。電場力的數(shù)值大小與電荷量、電場數(shù)值大小成正比。

　　作用力與勢能之間有非常直接的關(guān)系。隨著物體朝著作用力的方向的加速運(yùn)動，物體的動能變大，勢能變小。例如，一個石頭在山頂?shù)闹亓菽艽笥谠谏侥_的重力勢能。隨著物體的滾落，重力勢能變小，動能變大。

　　對于某種特別作用力，科學(xué)家可以定義其向量場和其位勢，使得物體因?yàn)檫@向量場而具有的勢能，只與物體位置、參考位置之間的距離有關(guān)。稱這種作用力為保守力，這種向量場為保守場。

　　例如，重力、靜電場的電場力，都是保守力。靜電場的標(biāo)勢稱為電勢，或稱為靜電勢。

　　電勢和磁矢勢共同形成一個四維向量，稱為四維勢。從某一個慣性參考系觀察到的四維勢，應(yīng)用洛倫茲變換，可以計算出另外一個慣性參考系所觀察到的四維勢。

靜電學(xué)里的電勢

　　在靜電學(xué)里，電場{\displaystyle\mathbf{E}}\mathbf{E}內(nèi)某位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}的電勢{\displaystyle\phi}\phi，以方程定義為[2]

　　{\displaystyle\phi(\mathbf{r})\{\stackrel{def}{=}}\U_{\mathrm{E}}(\mathbf{r})/q}\phi(\mathbf{r})\\stackrel{def}{=}\U_\mathrm{E}(\mathbf{r})/q；

　　其中，{\displaystyle U_{\mathrm{E}}}U_\mathrm{E}是在位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}的檢驗(yàn)電荷{\displaystyle q}q所具有的電勢能。

　　電勢能的數(shù)值是人為設(shè)定的，沒有絕對意義，只有相對于某參考位置的已設(shè)定參考值時才有物理意義。假若要設(shè)定電勢能在空間任意位置的數(shù)值，必須先設(shè)定其在某參考位置{\displaystyle\mathbf{r}_{0}}\mathbf{r}_0的數(shù)值。為了方便運(yùn)算，假設(shè)其參考數(shù)值為0。然后，就可以將在位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}的電勢能{\displaystyle U_{\mathrm{E}}(\mathbf{r})}U_\mathrm{E}(\mathbf{r})定義為從參考位置{\displaystyle\mathbf{r}_{0}}\mathbf{r}_0緩慢地將檢驗(yàn)電荷{\displaystyle q}q移動至{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}所需做的機(jī)械功{\displaystyle W}W：

　　{\displaystyle U_{\mathrm{E}}(\mathbf{r})\{\stackrel{def}{=}}\W}U_\mathrm{E}(\mathbf{r})\\stackrel{def}{=}\W。

　　移動檢驗(yàn)電荷時所施加的外力{\displaystyle\mathbf{F}}\mathbf{F}，必須恰巧抵消處于電場{\displaystyle\mathbf{E}}\mathbf{E}的檢驗(yàn)電荷{\displaystyle q}q所感受到的電場力{\displaystyle q\mathbf{E}}q\mathbf{E}，即{\displaystyle\mathbf{F}=-q\mathbf{E}}\mathbf{F}=-q\mathbf{E}。其所做機(jī)械功等于外力{\displaystyle\mathbf{F}}\mathbf{F}的路徑積分：

　　{\displaystyle W=\int _{\mathbb{L}}\mathbf{F}\cdot\mathrmiqbf1o8{\boldsymbol{\ell}}=-q\int _{\mathbb{L}}\mathbf{E}\cdot\mathrmiqbf1o8{\boldsymbol{\ell}}}W=\int_\mathbb{L}\mathbf{F}\cdot\mathrmiqbf1o8\boldsymbol{\ell}=-q\int_\mathbb{L}\mathbf{E}\cdot\mathrmiqbf1o8\boldsymbol{\ell}；

　　其中，{\displaystyle\mathbb{L}}\mathbb{L}是從參考位置{\displaystyle\mathbf{r}_{0}}\mathbf{r}_0到位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}的一條任意路徑，{\displaystyle\mathrmiqbf1o8{\boldsymbol{\ell}}}\mathrmiqbf1o8{\boldsymbol{\ell}}是微小線元素。

　　在靜電學(xué)里，{\displaystyle\mathbf{\nabla}\times\mathbf{E}=0}\mathbf{\nabla}\times\mathbf{E}=0，電場是保守場，所以，在積分時，可以選擇任意路徑{\displaystyle\mathbb{L}}\mathbb{L}，計算出來的結(jié)果都一樣。欲知更詳盡細(xì)節(jié)，請參閱條目保守力。由于這方程右邊的路徑積分跟路徑{\displaystyle\mathbb{L}}\mathbb{L}無關(guān)，只跟路徑的初始位置{\displaystyle\mathbf{r}_{0}}\mathbf{r}_0、終止位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}有關(guān)，因此若能夠假設(shè)無窮遠(yuǎn)位置{\displaystyle\infty}\infty的電勢能為0，則可以設(shè)定參考位置{\displaystyle\mathbf{r}_{0}}\mathbf{r}_0在無窮遠(yuǎn)位置{\displaystyle\infty}\infty：

　　{\displaystyle U_{\mathrm{E}}(\mathbf{r})=-q\int _{\infty}^{\mathbf{r}}\mathbf{E}\cdot\mathrmiqbf1o8{\boldsymbol{\ell}}}U_\mathrm{E}(\mathbf{r})=-q\int_\infty^\mathbf{r}\mathbf{E}\cdot\mathrmiqbf1o8\boldsymbol{\ell}。

　　所以，電勢就是從無窮遠(yuǎn)位置到檢驗(yàn)位置對于電場做路徑積分所得結(jié)果的負(fù)值：

　　{\displaystyle\phi(\mathbf{r})=-\int _{\infty}^{\mathbf{r}}\mathbf{E}\cdot\mathrmiqbf1o8{\boldsymbol{\ell}}}\phi(\mathbf{r})=-\int_\infty^\mathbf{r}\mathbf{E}\cdot\mathrmiqbf1o8\boldsymbol{\ell}。

　　在任意兩個位置{\displaystyle\mathbf{r}_{1}}\mathbf{r}_1、{\displaystyle\mathbf{r}_{2}}\mathbf{r}_2之間的“電勢差”{\displaystyle\Delta\phi}\Delta\phi為

　　{\displaystyle\Delta\phi=\phi(\mathbf{r}_{2})-\phi(\mathbf{r}_{1})=-\int _{\mathbf{r}_{1}}^{\mathbf{r}_{2}}\mathbf{E}\cdot\mathrmiqbf1o8{\boldsymbol{\ell}}}\Delta\phi=\phi(\mathbf{r}_2)-\phi(\mathbf{r}_1)=-\int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}\mathbf{E}\cdot\mathrmiqbf1o8\boldsymbol{\ell}。

　　由于電場{\displaystyle\mathbf{E}}\mathbf{E}是保守場，電勢差也與積分路徑無關(guān)，只跟積分路徑的初始位置與終止位置有關(guān)。

點(diǎn)電荷

　　由點(diǎn)電荷Q所產(chǎn)生的電勢，在距離r時，可表示為

　　{\displaystyle V={\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}}{\frac{Q}{r}}}V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}

　　其中，ε0是真空電容率。

　　在無限遠(yuǎn)處，電勢為零。由多個點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢，相等于各點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電勢之和。此外，電勢場是標(biāo)量場，電場則是向量場。

疊加原理

　　電場遵守疊加原理：假設(shè)在三維空間里，由兩組完全不相交的電荷分布所產(chǎn)生的電場分別為{\displaystyle\mathbf{E}_{1}}\mathbf{E}_1、{\displaystyle\mathbf{E}_{2}}\mathbf{E}_2，則總電場為{\displaystyle\mathbf{E}_{t}=\mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_{2}}\mathbf{E}_t=\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2。

　　總電勢為每單位電荷克服電場力所做的機(jī)械功之和：

　　{\displaystyle\phi _{t}(\mathbf{r})=-\int _{\infty}^{\mathbf{r}}\mathbf{E}_{t}\cdot\mathrmiqbf1o8{\boldsymbol{\ell}}=-\int _{\infty}^{\mathbf{r}}(\mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_{2})\cdot\mathrmiqbf1o8{\boldsymbol{\ell}}=\phi _{1}(\mathbf{r})+\phi _{2}(\mathbf{r})}\phi_t(\mathbf{r})=-\int_\infty^\mathbf{r}\mathbf{E}_t\cdot\mathrmiqbf1o8\boldsymbol{\ell}=-\int_\infty^\mathbf{r}(\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2)\cdot\mathrmiqbf1o8\boldsymbol{\ell}=\phi_1(\mathbf{r})+\phi_2(\mathbf{r})。

　　所以，電勢也遵守疊加原理。當(dāng)計算一組電荷分布所產(chǎn)生的電勢時，只需要知道在電荷分布的每個源位置的單獨(dú)電荷所產(chǎn)生在檢驗(yàn)位置的電勢，就可以應(yīng)用積分運(yùn)算，得到整個電荷分布所產(chǎn)生在檢驗(yàn)位置的電勢。

電勢的微分方程

　　應(yīng)用積分符號內(nèi)取微分方法，電勢的梯度為

　　{\displaystyle\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{r})=-\mathbf{\nabla}\int _{\infty}^{\mathbf{r}}\mathbf{E}(\mathbf{r}')\cdot\mathrmiqbf1o8{\boldsymbol{\ell}}^{\,\prime}=-\mathbf{E}(\mathbf{r})}\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{r})=-\mathbf{\nabla}\int_\infty^\mathbf{r}\mathbf{E}(\mathbf{r}')\cdot\mathrmiqbf1o8\boldsymbol{\ell}^{\,\prime}=-\mathbf{E}(\mathbf{r})。

　　所以，電場與電勢之間的關(guān)系為

　　{\displaystyle\mathbf{E}(\mathbf{r})=-\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{r})}\mathbf{E}(\mathbf{r})=-\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{r})。

　　根據(jù)高斯定律的方程，

　　{\displaystyle\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon _{0}}\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon_0；

　　其中，{\displaystyle\rho}\rho是電荷密度，{\displaystyle\epsilon _{0}}\epsilon _{0}是電常數(shù)。

　　所以，電勢滿足泊松方程：

　　{\displaystyle\nabla^{2}\phi=-\rho/\epsilon _{0}}\nabla^2\phi=-\rho/\epsilon_0。

　　假設(shè)電荷密度為零，則這方程變?yōu)槔绽狗匠蹋?/span>

　　{\displaystyle\nabla^{2}\phi=0}\nabla^2\phi=0。

　　請注意，假若{\displaystyle\mathbf{\nabla}\times\mathbf{E}\neq 0}\mathbf{\nabla}\times\mathbf{E}\ne 0，也就是說，電場不具保守性（由于隨時間變化的磁場造成的效應(yīng)；參閱麥克斯韋方程組），則不能使用這些方程。

　　由于電勢乃是標(biāo)量，而電場是具有三個分量的向量，所以，很多時候，使用電勢來解析問題會省去很多運(yùn)算工作，帶來很大的便利。

　　拉普拉斯方程的解答

　　在某空間區(qū)域內(nèi)，假設(shè)電荷密度為零，則電勢必須滿足拉普拉斯方程，并且符合所有相關(guān)邊界條件。

邊界條件

　　在靜電學(xué)里，有三種邊界條件：

　　狄利克雷邊界條件：在所有邊界，電勢都已良態(tài)給定。具有這種邊界條件的問題稱為狄利克雷問題。

　　紐曼邊界條件：在所有邊界，電勢的法向?qū)?shù)都已良態(tài)給定。具有這種邊界條件的問題稱為紐曼問題。

　　混合邊界條件：一部分邊界的電勢都已良態(tài)給定，其它邊界的電勢的法向?qū)?shù)也已良態(tài)給定。

　　根據(jù)拉普拉斯方程的唯一性定理，對于這些種類的邊界條件，拉普拉斯方程的解答都具有唯一性。所以，只要找到一個符合邊界條件的解答，則這解答必定為正確解答。

分離變數(shù)法

　　應(yīng)用分離變數(shù)法來解析拉普拉斯方程，可以將問題的偏微分方程改變?yōu)橐唤M較容易解析的常微分方程。對于一般問題，通常會采用直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系或球坐標(biāo)系來分離拉普拉斯方程。但是，對于其它比較特別的問題，另外還有八種坐標(biāo)系可以用來分離拉普拉斯方程。[3]分離之后，找到每一個常微分方程的通解（通常為一組本征方程的疊加），電勢可以表達(dá)為這些通解的乘積。將這表達(dá)式與邊界條件相匹配，就可以設(shè)定一般解的系數(shù)，從而找到問題的特解。根據(jù)拉普拉斯方程的唯一性定理，這特解也是唯一的正確解答。

兩個半平面導(dǎo)體案例

　　被位于{\displaystyle y=0}y=0的絕緣線條分隔為處于y+、y--半平面的兩個導(dǎo)體的電勢分別設(shè)定為{\displaystyle+V}+V、{\displaystyle-V}-V。

　　假設(shè)在xy-平面的無限平面導(dǎo)體被一條位于{\displaystyle y=0}y=0的絕緣線條分為兩半，兩個處于y+、y--半平面的導(dǎo)體的電勢分別設(shè)定為{\displaystyle+V}+V、{\displaystyle-V}-V，則計算z+-半空間任意位置的電勢這問題，由于邊界條件的幾何形狀適合用直角坐標(biāo)來描述，可以以直角坐標(biāo){\displaystyle(x,y,z)}(x,y,z)將拉普拉斯方程表示為：

　　{\displaystyle\nabla^{2}\phi={\frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}}+{\frac{\partial^{2}\phi}{\partial y^{2}}}+{\frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}}=0}\nabla^2\phi=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}=0。

　　因?yàn)檫@案例與x-坐標(biāo)無關(guān)，方程可以簡化為

　　{\displaystyle\nabla^{2}\phi(y,z)={\frac{\partial^{2}\phi}{\partial y^{2}}}+{\frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}}=0}\nabla^2\phi(y,z)=\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}=0。

　　應(yīng)用分離變數(shù)法，猜想解答的形式為

　　{\displaystyle\phi(y,z)=Y(y)Z(z)}\phi(y,z)=Y(y)Z(z)。

　　將這公式代入拉普拉斯方程，則可得到

　　{\displaystyle{\frac{1}{Y(y)}}\{\frac{\mathrmiqbf1o8^{2}Y(y)}{\mathrmiqbf1o8y^{2}}}+{\frac{1}{Z(z)}}\{\frac{\mathrmiqbf1o8^{2}Z(z)}{\mathrmiqbf1o8z^{2}}}=0}\frac{1}{Y(y)}\\frac{\mathrmiqbf1o8^2 Y(y)}{\mathrmiqbf1o8y^2}+\frac{1}{Z(z)}\\frac{\mathrmiqbf1o8^2 Z(z)}{\mathrmiqbf1o8z^2}=0。

　　注意到這方程的每一個項目都只含有一個變量，并且跟其它變量無關(guān)。所以，每一個項目都等于常數(shù)：

　　{\displaystyle{\frac{1}{Y(y)}}\{\frac{\mathrmiqbf1o8^{2}Y(y)}{\mathrmiqbf1o8y^{2}}}=C}\frac{1}{Y(y)}\\frac{\mathrmiqbf1o8^2 Y(y)}{\mathrmiqbf1o8y^2}=C、

　　{\displaystyle{\frac{1}{Z(z)}}\{\frac{\mathrmiqbf1o8^{2}Z(z)}{\mathrmiqbf1o8z^{2}}}=-C}\frac{1}{Z(z)}\\frac{\mathrmiqbf1o8^2 Z(z)}{\mathrmiqbf1o8z^2}=-C。

　　這樣，一個二次偏微分方程被改變?yōu)閮蓚€簡單的二次常微分方程。解答分別為

　　{\displaystyle Y(y)=A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky}}Y(y)=A_1 e^{iky}+A_2 e^{-iky}、

　　{\displaystyle Z(z)=B_{1}e^{kz}+B_{2}e^{-kz}}Z(z)=B_1 e^{kz}+B_2 e^{-kz}；

　　其中，{\displaystyle A_{1}(k)}A_1(k)、{\displaystyle A_{2}(k)}A_2(k)、{\displaystyle B_{1}(k)}B_1(k)、{\displaystyle B_{2}(k)}B_2(k)都是系數(shù)函數(shù)。

　　當(dāng){\displaystyle z}z趨向于無窮大時，{\displaystyle Z(z)}Z(z)趨向于零，所以，{\displaystyle B_{1}=0}B_1=0。綜合起來，電勢為

　　{\displaystyle\phi(y,z)=\int _{0}^{\infty}(A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky})e^{-kz}\mathrmiqbf1o8k}\phi(y,z)=\int_0^{\infty}(A_1 e^{iky}+A_2 e^{-iky})e^{-kz}\mathrmiqbf1o8k。

　　由于在{\displaystyle z=0}z=0，y+、y--半平面的電勢分別為{\displaystyle+V}+V、{\displaystyle-V}-V，所以，

　　當(dāng){\displaystyle y>0}y>0時，{\displaystyle\int _{0}^{\infty}(A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky})\mathrmiqbf1o8k=+V}\int_0^{\infty}(A_1 e^{iky}+A_2 e^{-iky})\mathrmiqbf1o8k=+V、

　　當(dāng){\displaystyle y<0}y<0時，{\displaystyle\int _{0}^{\infty}(A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky})\mathrmiqbf1o8k=-V}\int_0^{\infty}(A_1 e^{iky}+A_2 e^{-iky})\mathrmiqbf1o8k=-V。

　　應(yīng)用傅里葉變換，可以得到

　　{\displaystyle A_{1}(k)={\frac{V}{2\pi}}\left(\int _{0}^{\infty}e^{-iky'}\mathrmiqbf1o8y'-\int _{-\infty}^{0}e^{-iky'}\mathrmiqbf1o8y'\right)}A_1(k)=\frac{V}{2\pi}\left(\int_0^{\infty}e^{-iky'}\mathrmiqbf1o8y'-\int_{-\infty}^0 e^{-iky'}\mathrmiqbf1o8y'\right)、

　　{\displaystyle A_{2}(k)={\frac{V}{2\pi}}\left(\int _{0}^{\infty}e^{iky'}\mathrmiqbf1o8y'-\int _{-\infty}^{0}e^{iky'}\mathrmiqbf1o8y'\right)}A_2(k)=\frac{V}{2\pi}\left(\int_0^{\infty}e^{iky'}\mathrmiqbf1o8y'-\int_{-\infty}^0 e^{iky'}\mathrmiqbf1o8y'\right)。

　　所以，由{\displaystyle A_{1}(k)}A_1(k)項目貢獻(xiàn)出的電勢為

　　{\displaystyle{\begin{aligned}\phi _{1}&={\frac{V}{2\pi}}\int _{0}^{\infty}\mathrmiqbf1o8k\left\{\int _{0}^{\infty}e^{ik(y-y')-kz}\mathrmiqbf1o8y'-\int _{-\infty}^{0}e^{ik(y-y')-kz}\mathrmiqbf1o8y'\right\}\\&=-\{\frac{V}{2\pi}}\int _{0}^{\infty}{\frac{\mathrmiqbf1o8y'}{i(y-y')-z}}+\{\frac{V}{2\pi}}\int _{-\infty}^{0}{\frac{\mathrmiqbf1o8y'}{i(y-y')-z}}\\\end{aligned}}}\begin{align}\phi_1&=\frac{V}{2\pi}\int_0^{\infty}\mathrmiqbf1o8k\left\{\int_0^{\infty}e^{ik(y-y')-kz}\mathrmiqbf1o8y'-\int_{-\infty}^0e^{ik(y-y')-kz}\mathrmiqbf1o8y'\right\}\\

　　&=-\\frac{V}{2\pi}\int_0^{\infty}\frac{\mathrmiqbf1o8y'}{i(y-y')-z}+\\frac{V}{2\pi}\int_{-\infty}^0\frac{\mathrmiqbf1o8y'}{i(y-y')-z}\\

　　\end{align}。

　　類似地，由{\displaystyle A_{2}(k)}A_2(k)項目貢獻(xiàn)出的電勢為

　　{\displaystyle{\begin{aligned}\phi _{2}&={\frac{V}{2\pi}}\int _{0}^{\infty}\mathrmiqbf1o8k\left\{\int _{0}^{\infty}e^{-ik(y-y')-kz}\mathrmiqbf1o8y'-\int _{-\infty}^{0}e^{-ik(y-y')-kz}\mathrmiqbf1o8y'\right\}\\&=-\{\frac{V}{2\pi}}\int _{0}^{\infty}{\frac{\mathrmiqbf1o8y'}{-i(y-y')-z}}+\{\frac{V}{2\pi}}\int _{-\infty}^{0}{\frac{\mathrmiqbf1o8y'}{-i(y-y')-z}}\\\end{aligned}}}\begin{align}\phi_2&=\frac{V}{2\pi}\int_0^{\infty}\mathrmiqbf1o8k\left\{\int_0^{\infty}e^{-ik(y-y')-kz}\mathrmiqbf1o8y'-\int_{-\infty}^0e^{-ik(y-y')-kz}\mathrmiqbf1o8y'\right\}\\

　　&=-\\frac{V}{2\pi}\int_0^{\infty}\frac{\mathrmiqbf1o8y'}{-i(y-y')-z}+\\frac{V}{2\pi}\int_{-\infty}^0\frac{\mathrmiqbf1o8y'}{-i(y-y')-z}\\

　　\end{align}。

　　總電勢為[4]

　　{\displaystyle{\begin{aligned}\phi&={\frac{Vz}{\pi}}\int _{0}^{\infty}{\frac{\mathrmiqbf1o8y'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}-\{\frac{Vz}{\pi}}\int _{-\infty}^{0}{\frac{\mathrmiqbf1o8y'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}\\&={\frac{2V}{\pi}}\\arctan{\left({\frac{y}{z}}\right)}\\\end{aligned}}}\begin{align}\phi&=\frac{Vz}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{\mathrmiqbf1o8y'}{(y-y')^2+z^2}-\\frac{Vz}{\pi}\int_{-\infty}^0\frac{\mathrmiqbf1o8y'}{(y-y')^2+z^2}\\

　　&=\frac{2V}{\pi}\\arctan{\left(\frac{y}{z}\right)}\\

　　\end{align}。

泊松方程的解答

電荷分布所產(chǎn)生的電勢

　　根據(jù)庫侖定律，一個源位置為{\displaystyle\mathbf{r}'}\mathbf{r}'的點(diǎn)電荷{\displaystyle q}q，所產(chǎn)生在任意位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}的電場為

　　{\displaystyle\mathbf{E}(\mathbf{r})={\frac{q}{4\pi\epsilon _{0}}}\{\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{3}}}}\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}。

　　對于一群點(diǎn)電荷，應(yīng)用疊加原理，總電場等于每一個點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電場的疊加。體積區(qū)域{\displaystyle\mathbb{V}'}\mathbb{V}'內(nèi)部電荷密度為{\displaystyle\rho(\mathbf{r}')}\rho(\mathbf{r}')的電荷分布，在檢驗(yàn)位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}所產(chǎn)生的電場為

　　{\displaystyle\mathbf{E}(\mathbf{r})={\frac{1}{4\pi\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb{V}'}\rho(\mathbf{r}'){\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{3}}}\\mathrmiqbf1o8^{3}r'}\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'}\rho(\mathbf{r}')\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\\mathrmiqbf1o8^3 r'；

　　其中，{\displaystyle\mathrmiqbf1o8^{3}r'}\mathrmiqbf1o8^3 r'是微小體積元素。

　　應(yīng)用一條向量恒等式，

　　{\displaystyle\nabla{\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}=-\{\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{3}}}}\nabla\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=-\\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}，

　　可以得到

　　{\displaystyle\mathbf{E}(\mathbf{r})=-\{\frac{1}{4\pi\epsilon _{0}}}\nabla\int _{\mathbb{V}'}{\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\\mathrmiqbf1o8^{3}r'}\mathbf{E}(\mathbf{r})=-\\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\nabla\int_{\mathbb{V}'}\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\\mathrmiqbf1o8^3 r'。

　　設(shè)定在無窮遠(yuǎn)的電勢為參考值0，則在任意位置的電勢為

　　{\displaystyle\phi(\mathbf{r})={\frac{1}{4\pi\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb{V}'}{\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\\mathrmiqbf1o8^{3}r'}\phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'}\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\\mathrmiqbf1o8^3 r'；（1）

　　應(yīng)用一則關(guān)于狄拉克δ函數(shù)的向量恒等式

　　{\displaystyle\nabla^{2}\left({\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\right)=-4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}\nabla^2\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right)

　　=-4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')，

　　假設(shè)檢驗(yàn)位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}在積分體積{\displaystyle\mathbb{V}'}\mathbb{V}'內(nèi)，則可得到泊松方程：

　　{\displaystyle\nabla^{2}\phi(\mathbf{r})={\frac{1}{4\pi\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb{V}'}\nabla^{2}\left({\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\right)\\mathrmiqbf1o8^{3}r'=-\{\frac{1}{\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb{V}'}\rho(\mathbf{r}')\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\\mathrmiqbf1o8^{3}r'=-\{\frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon _{0}}}}\nabla^2\phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'}\nabla^2\left(\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right)

　　\\mathrmiqbf1o8^3 r'=-\\frac{1}{\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'}\rho(\mathbf{r}')\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\\mathrmiqbf1o8^3 r'

　　=-\\frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0}。

　　所以，電勢的方程（1）為泊松方程的解答。

邊界條件

　　電勢的方程（1）只考慮到一群電荷分布所產(chǎn)生的電勢。假若遭遇邊界條件為電勢的靜電學(xué)問題，就不能使用方程（1），必需使用更具功能的方法。

　　根據(jù)格林第二恒等式，對于任意良態(tài)函數(shù){\displaystyle\phi(\mathbf{r})}\phi(\mathbf{r})與{\displaystyle\psi(\mathbf{r})}\psi(\mathbf{r})，[5]

　　{\displaystyle\int _{\mathbb{V}}\left(\phi\nabla^{2}\psi-\psi\nabla^{2}\phi\right)\\mathrmiqbf1o8^{3}r=\oint _{\mathbb{S}}\left(\phi{\partial\psi\over\partial n}-\psi{\partial\phi\over\partial n}\right)\\mathrmiqbf1o8^{2}r}\int_{\mathbb{V}}\left(\phi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\phi\right)\\mathrmiqbf1o8^3 r=\oint_{\mathbb{S}}\left(\phi{\partial\psi\over\partial n}-\psi{\partial\phi\over\partial n}\right)\\mathrmiqbf1o8^2 r；

　　其中，{\displaystyle\mathbb{V}}\mathbb{V}是積分體積，{\displaystyle\mathbb{S}}\mathbb{S}是包住{\displaystyle\mathbb{V}}\mathbb{V}的閉表面，{\displaystyle\mathrmiqbf1o8^{2}r}\mathrmiqbf1o8^2 r是微小面元素，{\displaystyle\partial\phi\over\partial n}\partial\phi\over\partial n或{\displaystyle\partial\phi\over\partial n}\partial\phi\over\partial n都是取垂直于閉表面{\displaystyle\mathbb{S}}\mathbb{S}的法向?qū)?shù)，都是從積分體積{\displaystyle\mathbb{V}}\mathbb{V}朝外指出。

　　設(shè)定{\displaystyle\phi(\mathbf{r}')}\phi(\mathbf{r}')為在{\displaystyle\mathbf{r}'}\mathbf{r}'的電勢，{\displaystyle\psi={\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}}\psi=\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}為{\displaystyle\mathbf{r}'}\mathbf{r}'與{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}之間的距離。應(yīng)用泊松方程{\displaystyle\nabla^{2}\phi(\mathbf{r})=-\rho/\epsilon _{0}}\nabla^2\phi(\mathbf{r})=-\rho/\epsilon_0，則可得到

　　{\displaystyle\int _{\mathbb{V}'}\left[\phi(\mathbf{r}')\nabla^{2}\left({\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\right)+{\frac{\rho(\mathbf{r}')}{\epsilon _{0}|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\right]\mathrmiqbf1o8^{3}r'=\oint _{\mathbb{S}'}\left[\phi\{\partial\over\partial n'}\left({\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\right)-\left({\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\right){\partial\phi\over\partial n'}\right]\mathrmiqbf1o8^{2}r'}\int_{\mathbb{V}'}\left[\phi(\mathbf{r}')\nabla^2\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right)+\frac{\rho(\mathbf{r}')}{\epsilon_0|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right]\mathrmiqbf1o8^3 r'=\oint_{\mathbb{S}'}\left[\phi\{\partial\over\partial n'}\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right)-\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right){\partial\phi\over\partial n'}\right]\mathrmiqbf1o8^2 r'。

　　再應(yīng)用向量恒等式

　　{\displaystyle\nabla^{2}\left({\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\right)=-4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}\nabla^2\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right)=-4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')。

　　假設(shè)檢驗(yàn)位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}在積分體積{\displaystyle\mathbb{V}'}\mathbb{V}'內(nèi)，則可得到

　　{\displaystyle\phi(\mathbf{r})={\frac{1}{4\pi\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb{V}'}{\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\\mathrmiqbf1o8^{3}r'+{\frac{1}{4\pi}}\oint _{\mathbb{S}'}\left[\left({\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\right){\partial\phi\over\partial n'}-\phi\{\partial\over\partial n'}\left({\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\right)\right]\mathrmiqbf1o8^{2}r'}\phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'}\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\\mathrmiqbf1o8^3 r'+\frac{1}{4\pi}\oint_{\mathbb{S}'}\left[\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right){\partial\phi\over\partial n'}-\phi\{\partial\over\partial n'}\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right)\right]\mathrmiqbf1o8^2 r'。

　　這方程右手邊的體積分就是電勢的方程（1），而面積分就是因?yàn)檫吔鐥l件而添加的項目。這是{\displaystyle\mathbb{V}'}\mathbb{V}'體內(nèi)與體外之間的邊界曲面。面積分的第一個項目要求給定在邊界曲面的法向電場，即{\displaystyle E_{n'}=-{\partial\phi\over\partial n'}}E_{n'}=-{\partial\phi\over\partial n'}，也就是面感應(yīng)電荷密度{\displaystyle\sigma=\epsilon _{0}E_{n'}}\sigma=\epsilon_0 E_{n'}。面積分的第二個項目要求給定在邊界曲面的電勢{\displaystyle\phi}\phi。假若能夠知道積分體積內(nèi)的電荷密度、在閉曲面的面電荷密度與電勢，就可以計算出在積分體積內(nèi)任意位置的電勢。

　　根據(jù)柯西邊界條件，有時候，給定在邊界曲面的法向電場與電勢，可能會因?yàn)榻o定過多邊界條件，而造成無法計算出一致的電勢的狀況。實(shí)際而言，只要給定法向電場或電勢，兩者之一，就可以計算出電勢。[5]

　　假若積分體積為無窮大空間，當(dāng){\displaystyle r'}r'趨向于無窮大時，則面積分的被積分項目會以{\displaystyle 1/r'^{3}}1/r'^3速率遞減，而積分面積會以{\displaystyle r'^{2}}r'^2速率遞增，所以，面積分項目會趨向于零，這方程約化為先前的電勢方程（1）。

格林函數(shù)

　　包括函數(shù){\displaystyle 1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|在內(nèi)，有一類函數(shù){\displaystyle G(\mathbf{r},\mathbf{r}')}G(\mathbf{r},\mathbf{r}')，稱為格林函數(shù)，能夠滿足方程

　　{\displaystyle\nabla^{2}G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=-4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}\nabla^2 G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=-4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')。

　　另外，假設(shè)函數(shù){\displaystyle H(\mathbf{r},\mathbf{r}')}H(\mathbf{r},\mathbf{r}')滿足拉普拉斯方程

　　{\displaystyle\nabla^{2}H(\mathbf{r},\mathbf{r}')=0}\nabla^2 H(\mathbf{r},\mathbf{r}')=0，

　　則函數(shù){\displaystyle G'(\mathbf{r},\mathbf{r}')=G(\mathbf{r},\mathbf{r}')+H(\mathbf{r},\mathbf{r}')}G'(\mathbf{r},\mathbf{r}')=G(\mathbf{r},\mathbf{r}')+H(\mathbf{r},\mathbf{r}')也是格林函數(shù)。

　　應(yīng)用這靈活性質(zhì)，可以更嚴(yán)格地規(guī)定格林函數(shù)：[5]

　　對于狄利克雷問題，當(dāng)源位置{\displaystyle\mathbf{r}'}\mathbf{r}'在邊界表面{\displaystyle{\mathbb{S}'}}{\mathbb{S}'}時，規(guī)定格林函數(shù){\displaystyle G_{D}(\mathbf{r},\mathbf{r}')=0}G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')=0。這樣，從格林第二恒等式，設(shè)定{\displaystyle\phi(\mathbf{r}')}\phi(\mathbf{r}')為在{\displaystyle\mathbf{r}'}\mathbf{r}'的電勢，{\displaystyle\psi(\mathbf{r},\mathbf{r}')=G_{D}(\mathbf{r},\mathbf{r}')}\psi(\mathbf{r},\mathbf{r}')=G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')，則可得到

　　{\displaystyle\phi(\mathbf{r})={\frac{1}{4\pi\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb{V}'}\rho(\mathbf{r}')G_{D}(\mathbf{r},\mathbf{r}')\\mathrmiqbf1o8^{3}r'-\{\frac{1}{4\pi}}\oint _{\mathbb{S}'}\phi(\mathbf{r}')\{\partial G_{D}(\mathbf{r},\mathbf{r}')\over\partial n'}\mathrmiqbf1o8^{2}r'}\phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'}\rho(\mathbf{r}')G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')\\mathrmiqbf1o8^3 r'

　　-\\frac{1}{4\pi}\oint_{\mathbb{S}'}\phi(\mathbf{r}')\{\partial G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')\over\partial n'}\mathrmiqbf1o8^2 r'。（2）

　　對于滿足紐曼問題，當(dāng)源位置{\displaystyle\mathbf{r}'}\mathbf{r}'在邊界表面{\displaystyle{\mathbb{S}'}}{\mathbb{S}'}時，規(guī)定格林函數(shù){\displaystyle\oint _{\mathbb{S}'}{\frac{\partial G_{D}(\mathbf{r},\mathbf{r}')}{\partial n'}}\mathrmiqbf1o8^{2}r'=-{\frac{4\pi}{S}}}\oint_{\mathbb{S}'}\frac{\partial G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')}{\partial n'}\mathrmiqbf1o8^2 r'=-\frac{4\pi}{S}。

　　這兩種規(guī)定都能夠唯一地設(shè)定格林函數(shù)。注意到格林函數(shù)是一個幾何函數(shù)，與整個系統(tǒng)的電荷分布無關(guān)。對于任何系統(tǒng)，只要計算出適合其幾何形狀的格林函數(shù)，則不論系統(tǒng)的電荷分布為何，都可以使用同樣的格林函數(shù)。

無限平面導(dǎo)體案例

　　位于xy-平面的是一個接地的無限平面導(dǎo)體。其上方的點(diǎn)電荷{\displaystyle q}q的直角坐標(biāo)是{\displaystyle(0,\,0,\,a)}(0,\,0,\,a)。

　　假設(shè)xy-平面是接地的無限平面導(dǎo)體，則對于z+半空間、滿足狄利克雷邊界條件的格林函數(shù)為

　　{\displaystyle{\begin{matrix}G_{D}(\mathbf{r},\mathbf{r}')={\cfrac{1}{\sqrt{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}\\\qquad\qquad\qquad-\{\cfrac{1}{\sqrt{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z+z')^{2}}}}\\\end{matrix}}}\begin{matrix}G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')=\cfrac{1}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}\\

　　\qquad\qquad\qquad-\\cfrac{1}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z+z')^2}}\\

　　\end{matrix}；

　　其中，{\displaystyle(x,y,z)}(x,y,z)、{\displaystyle(x',y',z')}(x',y',z')分別是檢驗(yàn)位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}、源位置{\displaystyle\mathbf{r}'}\mathbf{r}'的直角坐標(biāo)。

　　由于接地導(dǎo)體的電勢為零，方程（2）的面積分項目等于零，方程（2）變?yōu)?/span>

　　{\displaystyle\phi(\mathbf{r})={\frac{1}{4\pi\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb{V}'}\rho(\mathbf{r}')G_{D}(\mathbf{r},\mathbf{r}')\\mathrmiqbf1o8^{3}r'}\phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'}\rho(\mathbf{r}')G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')\\mathrmiqbf1o8^3 r'

　　。

　　假設(shè)在位置{\displaystyle(0,0,a)}(0,0,a)有點(diǎn)電荷{\displaystyle q}q，則在z+半空間任意位置的電勢為

　　{\displaystyle{\begin{aligned}\phi(\mathbf{r})&={\frac{1}{4\pi\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb{V}'}\rho(\mathbf{r}')\left({\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}}-{\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}}\right)\\mathrmiqbf1o8^{3}r'\\&={\frac{1}{4\pi\epsilon _{0}}}\left({\frac{q}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}}-{\frac{q}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}}\right)\\\end{aligned}}}\begin{align}

　　\phi(\mathbf{r})&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'}\rho(\mathbf{r}')\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z-a)^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z+a)^2}}\right)\\mathrmiqbf1o8^3 r'\\

　　&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+(z-a)^2}}-\frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+(z+a)^2}}\right)\\

　　\end{align}。

　　仔細(xì)檢察這方程，右手邊第一個項目，是在沒有平面導(dǎo)體的狀況時，點(diǎn)電荷{\displaystyle q}q所產(chǎn)生的電勢；右手邊第二個項目，是使用鏡像法時，鏡像電荷{\displaystyle-q}-q所產(chǎn)生的電勢。請參閱鏡像法條目的點(diǎn)電荷與無限平面導(dǎo)體段落。

導(dǎo)引

　　已知函數(shù){\displaystyle 1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|為格林函數(shù){\displaystyle G(\mathbf{r},\mathbf{r}')}G(\mathbf{r},\mathbf{r}')，滿足方程

　　{\displaystyle\nabla^{2}G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=-4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}\nabla^2 G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=-4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')。

　　在三維無限空間里，{\displaystyle 1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|的傅里葉級數(shù)為[6]

　　{\displaystyle{\begin{aligned}{\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}&\equiv{\frac{1}{2\pi^{2}}}\int _{-\infty}^{\infty}\int _{-\infty}^{\infty}\int _{-\infty}^{\infty}\mathrmiqbf1o8^{3}k{\frac{e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}}{k^{2}}}\\&={\frac{1}{2\pi^{2}}}\int _{-\infty}^{\infty}\int _{-\infty}^{\infty}\mathrmiqbf1o8k_{x}\\mathrmiqbf1o8k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty}^{\infty}\\mathrmiqbf1o8k_{z}{\frac{e^{ik_{z}(z-z')}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}\\\end{aligned}}}\begin{align}\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}

　　&\equiv\frac{1}{2\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrmiqbf1o8^3 k\frac{e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}}{k^2}\\

　　&=\frac{1}{2\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrmiqbf1o8k_x\\mathrmiqbf1o8k_y e^{ik_x(x-x')+ik_y(y-y')}\int_{-\infty}^{\infty}\\mathrmiqbf1o8k_z\frac{e^{ik_z(z-z')}}{k_x^2+k_y^2+k_z^2}\\

　　\end{align}。

　　現(xiàn)在，必需找到格林函數(shù){\displaystyle G_{D}(\mathbf{r},\mathbf{r}')=G(\mathbf{r},\mathbf{r}')+H(\mathbf{r},\mathbf{r}')}G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')=G(\mathbf{r},\mathbf{r}')+H(\mathbf{r},\mathbf{r}')，滿足狄利克雷邊界條件{\displaystyle G_{D}((x,y,0),\mathbf{r}')=0}G_D((x,y,0),\mathbf{r}')=0，同時，函數(shù){\displaystyle H(\mathbf{r},\mathbf{r}')}H(\mathbf{r},\mathbf{r}')滿足拉普拉斯方程

　　{\displaystyle\nabla^{2}H(\mathbf{r},\mathbf{r}')=0}\nabla^2 H(\mathbf{r},\mathbf{r}')=0。

　　對于z+半空間，{\displaystyle H(\mathbf{r},\mathbf{r}')}H(\mathbf{r},\mathbf{r}')以傅里葉級數(shù)擴(kuò)張為

　　{\displaystyle{\begin{aligned}H(\mathbf{r},\mathbf{r}')&={\frac{1}{2\pi^{2}}}\int _{-\infty}^{\infty}\int _{-\infty}^{\infty}\\mathrmiqbf1o8k_{x}\\mathrmiqbf1o8k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty}^{\infty}\\mathrmiqbf1o8k_{z}\left[B(\mathbf{k},z')e^{ik_{z}z}+C(\mathbf{k},z')e^{-ik_{z}z}\right]\\\end{aligned}}}\begin{align}H(\mathbf{r},\mathbf{r}')

　　&=\frac{1}{2\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\\mathrmiqbf1o8k_x\\mathrmiqbf1o8k_y e^{ik_x(x-x')+ik_y(y-y')}\int_{-\infty}^{\infty}\\mathrmiqbf1o8k_z\left[B(\mathbf{k},z')e^{ik_z z}+C(\mathbf{k},z')e^{-ik_z z}\right]\\

　　\end{align}。

　　對于x-坐標(biāo)與對于y-坐標(biāo)的傅里葉級數(shù)擴(kuò)張，{\displaystyle H}H函數(shù)與{\displaystyle G}G函數(shù)的形式相同。這是因?yàn)閷τ跓o限空間案例與無限平面導(dǎo)體案例，兩種案例的x-邊界條件與y-邊界條件都相同，只有z-邊界條件稍有改變。將{\displaystyle H}H函數(shù)的方程代如，{\displaystyle G_{D}(\mathbf{r},\mathbf{r}')}G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')變?yōu)?/span>

　　{\displaystyle G_{D}(\mathbf{r},\mathbf{r}')={\frac{1}{2\pi^{2}}}\int _{-\infty}^{\infty}\int _{-\infty}^{\infty}\\mathrmiqbf1o8k_{x}\\mathrmiqbf1o8k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty}^{\infty}\\mathrmiqbf1o8k_{z}\left[{\frac{e^{ik_{z}(z-z')}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}+B(\mathbf{k},z')e^{ik_{z}z}+C(\mathbf{k},z')e^{-ik_{z}z}\right]}G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')

　　=\frac{1}{2\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\\mathrmiqbf1o8k_x\\mathrmiqbf1o8k_y e^{ik_x(x-x')+ik_y(y-y')}\int_{-\infty}^{\infty}\\mathrmiqbf1o8k_z\left[\frac{e^{ik_z(z-z')}}{k_x^2+k_y^2+k_z^2}+B(\mathbf{k},z')e^{ik_z z}+C(\mathbf{k},z')e^{-ik_z z}\right]；

　　其中，{\displaystyle B(\mathbf{k},z')}B(\mathbf{k},z')與{\displaystyle C(\mathbf{k},z')}C(\mathbf{k},z')都是系數(shù)函數(shù)。

　　由于{\displaystyle G_{D}((x,y,0),\mathbf{r}')=0}G_D((x,y,0),\mathbf{r}')=0，對于任意{\displaystyle\mathbf{k}}\mathbf{k}與{\displaystyle z'}z'，{\displaystyle B(\mathbf{k},z')}B(\mathbf{k},z')與{\displaystyle C(\mathbf{k},z')}C(\mathbf{k},z')之間的關(guān)系為

　　{\displaystyle{\frac{e^{-ik_{z}z'}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}+B(\mathbf{k},z')+C\mathbf{k},z')=0}\frac{e^{-ik_z z'}}{k_x^2+k_y^2+k_z^2}+B(\mathbf{k},z')+C\mathbf{k},z')=0、

　　{\displaystyle B(\mathbf{k},z')={\frac{B_{0}e^{-ik_{z}z'}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}}B(\mathbf{k},z')=\frac{B_0 e^{-ik_z z'}}{k_x^2+k_y^2+k_z^2}、

　　{\displaystyle C(\mathbf{k},z')={\frac{C_{0}e^{-ik_{z}z'}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}}C(\mathbf{k},z')=\frac{C_0 e^{-ik_z z'}}{k_x^2+k_y^2+k_z^2}；

　　其中，{\displaystyle B_{0}}B_0與{\displaystyle C_{0}}C_{0}都是系數(shù)常數(shù)，而且，{\displaystyle B_{0}+C_{0}=-1}B_0+C_0=-1

　　將這些公式代入{\displaystyle G_{D}}G_D，可以得到

　　{\displaystyle G_{D}(\mathbf{r},\mathbf{r}')={\frac{1}{2\pi^{2}}}\int _{-\infty}^{\infty}\int _{-\infty}^{\infty}\\mathrmiqbf1o8k_{x}\\mathrmiqbf1o8k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty}^{\infty}\\mathrmiqbf1o8k_{z}\left\{{\frac{(1+B_{0})}{k^{2}}}\left[e^{ik_{z}(z-z')}-e^{ik_{z}(z+z')}\right]\right\}}G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')

　　=\frac{1}{2\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\\mathrmiqbf1o8k_x\\mathrmiqbf1o8k_y e^{ik_x(x-x')+ik_y(y-y')}\int_{-\infty}^{\infty}\\mathrmiqbf1o8k_z\left\{\frac{(1+B_0)}{k^2}\left[e^{ik_z(z-z')}-e^{ik_z(z+z')}\right]\right\}。

　　為了滿足方程{\displaystyle\nabla^{2}G_{D}(\mathbf{r},\mathbf{r}')=-4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}\nabla^2 G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')=-4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')，必需設(shè)定{\displaystyle B_{0}=0}B_0=0。所以，

　　{\displaystyle{\begin{aligned}G_{D}(\mathbf{r},\mathbf{r}')&={\frac{1}{2\pi^{2}}}\int _{-\infty}^{\infty}\int _{-\infty}^{\infty}\\mathrmiqbf1o8k_{x}\\mathrmiqbf1o8k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty}^{\infty}\\mathrmiqbf1o8k_{z}\left\{{\frac{1}{k^{2}}}\left[e^{ik_{z}(z-z')}-e^{ik_{z}(z+z')}\right]\right\}\\&={\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}-{\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}''|}}\\&={\cfrac{1}{\sqrt{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}-\{\cfrac{1}{\sqrt{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z+z')^{2}}}}\\\end{aligned}}}\begin{align}G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')&=\frac{1}{2\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\\mathrmiqbf1o8k_x\\mathrmiqbf1o8k_y e^{ik_x(x-x')+ik_y(y-y')}\int_{-\infty}^{\infty}\\mathrmiqbf1o8k_z\left\{\frac{1}{k^2}\left[e^{ik_z(z-z')}-e^{ik_z(z+z')}\right]\right\}\\

　　&=\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}-\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}''|}\\

　　&=\cfrac{1}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}-\\cfrac{1}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z+z')^2}}\\

　　\end{align}；

　　其中，{\displaystyle\mathbf{r}''=(x',y',-z')}\mathbf{r}''=(x',y',-z')是鏡像電荷的位置。

兩個半平面導(dǎo)體案例

　　假設(shè)在xy-平面的無限平面導(dǎo)體被一條位于{\displaystyle y=0}y=0的絕緣線條分為兩半，兩個處于y+、y--半平面的導(dǎo)體的電勢分別設(shè)定為{\displaystyle+V}+V與{\displaystyle-V}-V，則由于{\displaystyle\rho(\mathbf{r}')=0}\rho(\mathbf{r}')=0，方程（2）變?yōu)?/span>

　　{\displaystyle\phi(\mathbf{r})=-\{\frac{1}{4\pi}}\oint _{\mathbb{S}'}\phi(\mathbf{r}')\{\partial G_{D}(\mathbf{r},\mathbf{r}')\over\partial n'}\mathrmiqbf1o8^{2}r'}\phi(\mathbf{r})=-\\frac{1}{4\pi}\oint_{\mathbb{S}'}\phi(\mathbf{r}')\{\partial G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')\over\partial n'}\mathrmiqbf1o8^2 r'。（3）

　　注意到{\displaystyle\mathbb{V}'}\mathbb{V}'是z+-半空間，xy-平面是其邊界閉曲面的一部分，格林函數(shù)在xy-平面的法向?qū)?shù)的方向是朝著負(fù)z方向：

　　{\displaystyle{\begin{aligned}{\partial G_{D}\over\partial n'}&=-\{\partial G_{D}\over\partial z'}\\&=-\{\cfrac{z-z'}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}]^{3/2}}}\-\{\cfrac{z+z'}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z+z')^{2}]^{3/2}}}\\&=-\{\cfrac{2z}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}]^{3/2}}}\\\end{aligned}}}\begin{align}{\partial G_D\over\partial n'}&=-\{\partial G_D\over\partial z'}\\

　　&=-\\cfrac{z-z'}{[(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2]^{3/2}}\-\\cfrac{z+z'}{[(x-x')^2+(y-y')^2+(z+z')^2]^{3/2}}\\

　　&=-\\cfrac{2z}{[(x-x')^2+(y-y')^2+z^2]^{3/2}}\\

　　\end{align}。

　　{\displaystyle\mathbb{V}'}\mathbb{V}'的邊界閉曲面在無窮遠(yuǎn)位置的電勢為0，所以，只需要計算xy-平面給出的貢獻(xiàn)，就可以得到在{\displaystyle\mathbb{V}'}\mathbb{V}'內(nèi)部任意位置的電勢。將上述方程代入方程（3）：[4]

　　{\displaystyle{\begin{aligned}\phi(\mathbf{r})&={\frac{2z}{4\pi}}\left\{\int _{0+}^{\infty}\int _{-\infty}^{\infty}{\cfrac{V\mathrmiqbf1o8x'\mathrmiqbf1o8y'}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}]^{3/2}}}+\int _{-\infty}^{0-}\int _{-\infty}^{\infty}{\cfrac{-V\mathrmiqbf1o8x'\mathrmiqbf1o8y'}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}]^{3/2}}}\right\}\\&=\{\frac{zV}{\pi}}\left\{\int _{0+}^{\infty}{\frac{\mathrmiqbf1o8y'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}-\int _{-\infty}^{0-}{\frac{\mathrmiqbf1o8y'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}\right\}\\&={\frac{2V}{\pi}}\\arctan{\left({\frac{y}{z}}\right)}\\\end{aligned}}}\begin{align}\phi(\mathbf{r})&=\frac{2z}{4\pi}\left\{\int_{0+}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\cfrac{V\mathrmiqbf1o8x'\mathrmiqbf1o8y'

　　}{[(x-x')^2+(y-y')^2+z^2]^{3/2}}+\int_{-\infty}^{0-}\int_{-\infty}^{\infty}\cfrac{-V\mathrmiqbf1o8x'\mathrmiqbf1o8y'

　　}{[(x-x')^2+(y-y')^2+z^2]^{3/2}}\right\}\\

　　&=\\frac{zV}{\pi}\left\{\int_{0+}^{\infty}\frac{\mathrmiqbf1o8y'}{(y-y')^2+z^2}

　　-\int_{-\infty}^{0-}\frac{\mathrmiqbf1o8y'}{(y-y')^2+z^2}\right\}\\

　　&=\frac{2V}{\pi}\\arctan{\left(\frac{y}{z}\right)}\\

　　\end{align}。

推廣至電動力學(xué)

　　假設(shè)磁場含時間（每當(dāng)電場含時間，則此假設(shè)成立。逆過來亦成立），則不能簡單地以標(biāo)勢{\displaystyle\phi}\phi描述電場。因?yàn)楦鶕?jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，{\displaystyle\mathbf{\nabla}\times\mathbf{E}=-\{\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}}\neq 0}\mathbf{\nabla}\times\mathbf{E}=-\\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\neq 0，電場不再具有保守性，{\displaystyle\int\mathbf{E}\cdot\mathrmiqbf1o8{\boldsymbol{\ell}}}\int\mathbf{E}\cdot\mathrmiqbf1o8\boldsymbol{\ell}跟路徑有關(guān)。

　　替代地，在定義標(biāo)勢時，必須引入磁矢勢{\displaystyle\mathbf{A}}\mathbf{A}，定義為

　　{\displaystyle\mathbf{B}\{\stackrel{def}{=}}\\mathbf{\nabla}\times\mathbf{A}}\mathbf{B}\\stackrel{def}{=}\\mathbf{\nabla}\times\mathbf{A}；

　　其中，{\displaystyle\mathbf{B}}\mathbf{B}是磁場。

　　根據(jù)亥姆霍茲定理[7]（Helmholtz theorem），假設(shè)一個向量函數(shù){\displaystyle\mathbf{F}(\mathbf{r})}\mathbf{F}(\mathbf{r})滿足以下兩條件：

　　{\displaystyle\nabla\cdot\mathbf{F}(\mathbf{r})=D(\mathbf{r})}\nabla\cdot\mathbf{F}(\mathbf{r})=D(\mathbf{r})、

　　{\displaystyle\nabla\times\mathbf{F}(\mathbf{r})=\mathbf{C}(\mathbf{r})}\nabla\times\mathbf{F}(\mathbf{r})=\mathbf{C}(\mathbf{r});

　　其中，{\displaystyle D(\mathbf{r})}D(\mathbf{r})是個標(biāo)量函數(shù)，{\displaystyle\mathbf{C}(\mathbf{r})}\mathbf{C}(\mathbf{r})是個向量函數(shù)。

　　再假設(shè){\displaystyle D(\mathbf{r})}D(\mathbf{r})和{\displaystyle\mathbf{C}(\mathbf{r})}\mathbf{C}(\mathbf{r})，在無窮遠(yuǎn)處都足夠快速地趨向0，則{\displaystyle\mathbf{F}(\mathbf{r})}\mathbf{F}(\mathbf{r})可以用方程表達(dá)為

　　{\displaystyle\mathbf{F}(\mathbf{r})=-\nabla\left({\frac{1}{4\pi}}\int _{\mathbb{V}'}{\frac{D(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\mathrmiqbf1o8^{3}r'\right)+\nabla\times\left({\frac{1}{4\pi}}\int _{\mathbb{V}'}{\frac{\mathbf{C}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\mathrmiqbf1o8^{3}r'\right)}\mathbf{F}(\mathbf{r})=-\nabla\left(\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'}\frac{D(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrmiqbf1o8^3 r'\right)+\nabla\times\left(\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'}\frac{\mathbf{C}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrmiqbf1o8^3 r'\right);

　　在這里，{\displaystyle\nabla}\nabla只作用于{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}，體積分的體積為{\displaystyle\mathbb{V}'}\mathbb{V}'。

　　采用庫侖規(guī)范（Coulomb gauge），則磁矢勢{\displaystyle\mathbf{A}}\mathbf{A}遵守

　　{\displaystyle\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{A}=0}\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{A}=0。

　　所以，

　　{\displaystyle\mathbf{A}(\mathbf{r})=\nabla\times\left({\frac{1}{4\pi}}\int _{\mathbb{V}'}{\frac{\mathbf{B}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\mathrmiqbf1o8^{3}r'\right)={\frac{1}{4\pi}}\int _{\mathbb{V}'}\mathbf{B}(\mathbf{r}')\times{\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{3}}}\mathrmiqbf1o8^{3}r'}\mathbf{A}(\mathbf{r})=\nabla\times\left(\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'}\frac{\mathbf{B}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrmiqbf1o8^3 r'\right)=\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'}\mathbf{B}(\mathbf{r}')\times\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\mathrmiqbf1o8^3 r'。

　　注意到，以上這些推導(dǎo)，并沒有涉及時間參數(shù)。加入時間參數(shù){\displaystyle t}t，結(jié)果也成立。所以，永遠(yuǎn)可以找到磁矢勢{\displaystyle\mathbf{A}}\mathbf{A}：

　　{\displaystyle\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)={\frac{1}{4\pi}}\int _{\mathbb{V}'}\mathbf{B}(\mathbf{r}',\,t)\times{\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{3}}}\mathrmiqbf1o8^{3}r'}\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)=\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'}\mathbf{B}(\mathbf{r}',\,t)\times\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\mathrmiqbf1o8^3 r'。

　　根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，向量場{\displaystyle\mathbf{G}=\mathbf{E}+\partial\mathbf{A}/\partial t}\mathbf{G}=\mathbf{E}+\partial\mathbf{A}/\partial t是一個保守場：

　　{\displaystyle\nabla\times\mathbf{G}=\nabla\times\mathbf{E}+\nabla\times\partial\mathbf{A}/\partial t=0}\nabla\times\mathbf{G}=\nabla\times\mathbf{E}+\nabla\times\partial\mathbf{A}/\partial t=0。

　　所以，必定可以找到標(biāo)勢{\displaystyle\phi}\phi，滿足{\displaystyle\mathbf{G}=-\nabla\phi}\mathbf{G}=-\nabla\phi。因此，下述方程成立：

　　{\displaystyle\mathbf{E}=-\mathbf{\nabla}\phi-{\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}}}\mathbf{E}=-\mathbf{\nabla}\phi-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}。

　　靜電勢只是這含時定義的一個特別案例，在這案例里，磁矢勢{\displaystyle\mathbf{A}}\mathbf{A}不含時間。從另一方面來說，對于含時向量場，電場的路徑積分與靜電學(xué)的結(jié)果大不相同：

　　{\displaystyle\int _{a}^\mathbf{E}\cdot\mathrmiqbf1o8{\boldsymbol{\ell}}\neq\phi(b)-\phi(a)}\int_a^b\mathbf{E}\cdot\mathrmiqbf1o8\boldsymbol{\ell}\neq\phi(b)-\phi(a)。

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